Por literatos se mueve el mundo, publica tus textos y expresa
|
|
PTOLOMEO Y LAS MATEMÁTICAS |
|
Norma Ivonne Ortega Zarazúa |
|
Ensayo |
“… el mundo está escrito en lenguaje matemático, cuyos caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola palabra, lo que sería como agitarse vanamente por salir de un oscuro laberinto. ”
Galileo
INTRODUCCIÓN
La siguientes líneas nacen de la lectura que nos ofrece Ptolomeo en su obra Almagesto, en la cual muestra su sistema cosmológico, mismo que, puede considerarse, a diferencia de los sistemas astronómicos modernos, como una astronomía fundamentalmente matemática, específicamente geométrica, ya que según las mismas palabras del astrónomo con ayuda de la matemática, se obtendrá un conocimiento más certero y confiable, debido a las demostraciones tanto geométricas como aritméticas que ésta proporciona, aspecto que, diferencia tal sistema de los sistemas astronómicos modernos, en donde la astronomía se concibe, de acuerdo con Eduardo Battaner, como la ciencia que estudia los astros considerados como puntos materiales y que obedecen a las leyes de la mecánica , es decir, como aquella ciencia que considerando a los cuerpos celestes, situados en un lugar en el espacio, están regidos por las leyes de la mecánica, definida ésta última, como la ciencia física, que tiene por objeto el estudio del movimiento de masas sometidas a fuerzas en el espacio y de las interacciones de estas masas , lo cual deja ver que la astronomía considerada en estos términos se constituye como una ciencia esencialmente física que, aunque no deja a un lado el aparato matemático, lo incluye dentro de su estructura en la medida que pueda servir de instrumento para sus demostraciones, y en tanto que esto es así, podemos considerarlo como subordinado a otra ciencia y no como una ciencia independiente, que por si misma puede dar cuenta del mundo.
Sin embargo, no podemos pensar que la astronomía ptolemaica, niega la materialidad y movimiento de los cuerpos celestes, lo que sucede es que, tal sistema está sustentado por principios matemáticos antes que principios físicos.
Teniendo en cuenta lo anterior, el propósito de este pequeño trabajo es esbozar el desarrollo matemático que realiza Ptolomeo a lo largo de la obra arriba mencionada, con ayuda de sus propios argumentos con respecto a la utilización de tal disciplina, y los procedimientos que usa para demostrar lo que propone, en base a lo que él mismo postula en el primer libro del Almagesto, por un lado; por el otro, y como introducción a lo anterior, intentaré anunciar, de manera breve las influencias que con respecto a su labor matemática, ha tenido.
Siendo esto así, el trabajo se divide en dos partes, la primera en donde se anuncian las influencias ptolemaicas, así como una brevísima reseña de su vida y la segunda, en donde anunciaré, quizás de no de manera exhaustiva, pero si de forma clara y precisa, los principios matemáticos, que según mi consideración, recoge Ptolomeo para realizar sus demostraciones.
Sin más aclaraciones que ofrecer, desarrollaré lo expuesto líneas arriba a continuación.
BREVE REVISIÓN DE LA LABOR MATEMÁTICA ENCONTRADA EN
EL ALMAGESTO DE PTOLOMEO
1. Las influencias de Ptolomeo
Antes de dar tratamiento al procedimiento que utiliza Ptolomeo para llegar a la postulación del sistema astronómico expuesto en el Almagesto, es necesario comprender cuáles son los antecedentes que han influenciado al astrónomo, en la realización de su trabajo, lo cual nos lleva a considerar, al menos de manera superficial la situación temporal y espacial en la que se encontró Ptolomeo, para lo cual se deben mencionar algunos aspectos de su vida, así como una breve semblanza de la significación de su obra dentro de la historia de la astronomía, siendo esto, el objetivo de la siguiente sección.
Ptolomeo nació alrededor del año 85 d.C. y murió alrededor de 165 d.C en Alejandría. En realidad es muy poco lo que se sabe de su vida, pues incluso, su nombre, es en realidad una mezcla del gentilicio griego-egipcio Ptolomeo y el adjetivo romano Claudio, lo cual indica que, probablemente, era descendiente de una familia griega que vivió en Egipto y que además era ciudadano de Roma.
Con respecto a aquello que se conoce con más certeza sobre él, nos encontramos con que uso las observaciones hechas por Teón el matemático, o bien Teón de Esmirne, el cual seguramente fue su maestro.
Es, de igual forma, heredero de la concepción del mundo dada por Platón y Aristóteles, pero, a diferencia de ellos, Ptolomeo ofrece una gran cantidad de datos resultantes tanto de sus observaciones, como de las observaciones de los antiguos, especialmente, según sus palabras, de Hiparco, logrando construir una astronomía basada en un conocimiento certero y confiable, llevado a cabo con demostraciones aritméticas y geométricas , lo cual, deja ver que en la obra ptolemaica, al menos la que he anunciado, podemos encontrar un sistema regido por un conocimiento esquematizado y bien ordenado, y en la medida en que la califica el mismo Ptolomeo, existe en ella un conocimiento seguro y digno de confianza; el Almagesto, texto fundamental durante toda la Edad Media y fuente de todo nuestro conocimiento acerca de la astronomía griega , según su título original (y en el tenor de la segunda afirmación), Sintaxis matemática, denota, de acuerdo al significado de la palabra griega sintaxis, además de una composición, una organización, dejando ver que, además de que la obra reúna los conocimientos astronómicos de la antigüedad, los hace con un orden matemático, geométrico, lo cual hace de ésta labor una labor coordinada, dispuesta metódicamente.
En cuanto a la obra mencionada, ésta fue traducida por los árabes como Al Magisti, de donde proviene el título que actualmente conocemos; posteriormente fue traducida al latín por Boecio, traducción que no llego a nuestras manos; el califa Al Mamun la hizo traducir al árabe en Bagdad, alrededor del año 827 d.c. En 1230 el Emperador Federico II dio la orden traducir el Almagesto del árabe al latín en Nápoles aunque la primera versión latina completa es la de Liechtenstein. Más tarde fue publicado el texto griego, con la traducción francesa de Halma en París.
En cuanto a las influencias de nuestro astrónomo, tenemos:
a. Teón el matemático
Se cree que nació alrededor del año 70 d.C. y murió en el 135 d. C., en realidad no se sabe nada de su vida, sin embargo, es muy probable que haya sido maestro de Ptolomeo, lo cual se corrobora por el hecho de que, éste registra las supuestas observaciones astronómicas que aquél hizo sobre los movimientos de Mercurio y Venus entre los años 127 y 132, en el Almagesto.
b. Platón: la forma geométrica más bella, el movimiento más adecuado y la proporción geométrica-aritmética
Al parecer la influencia más evidente que recibe Ptolomeo de Platón es, en primer lugar, la forma y ubicación de la Tierra dentro del cosmos y el movimiento tanto de éste como de aquella; en segundo lugar, las proporciones geométricas que encontramos en la obra, todo ello con ayuda del diálogo Timeo.
Por medio del mito relatado en el diálogo Timeo, Platón nos proporciona la justificación sobre el movimiento y naturaleza del cosmos, así como la forma que éste posee y en general, la que poseen todos los cuerpos celestes, tal justificación atiende, al parecer, a un argumento que tiene la finalidad de mostrar la armonía dentro del cosmos, la cual se nos muestra en forma geométrica-aritmética y en última instancia, a la concepción que la escuela pitagórica tenía sobre esto, no obstante, tal asunto no será abordado en éste escrito, lo pretendo señalar, más bien, es que Ptolomeo, toma los postulados geométricos de Platón en cuanto a la posición y movimiento tanto de la Tierra, como del cosmos en su totalidad.
De acuerdo a lo anterior, la forma de la Tierra es la de la esfera, por ser ella, la más bella y la más perfecta de todos los cuerpos geométricos , aseveración que, si bien es aceptada por Ptolomeo, a diferencia de Platón, no nos dice que la esfera es la forma de la Tierra por ser la más bella y más perfecta de todos los cuerpos, más bien, demuestra por medio de sus observaciones que esto es así, siendo algunas de ellas, el hecho de que en cuanto a los eclipses los cuales son dados en el mismo tiempo, no son registrados a las mismas horas por todos, y la diferencia horaria es proporcional a la distancia entre los lugares , cosa que no sucedería si la tierra tuviera cualquier otra forma como la cúbica, piramidal, cóncava o cilíndrica.
En cuanto a la disposición de los astros encontrados en el cosmos, según el Timeo, encontramos que la Luna, ocupa el primer lugar alrededor de la Tierra, el Sol, el segundo, Venus el tercero, Mercurio el cuarto, y en sucesión le siguen Marte, Júpiter, Saturno y por último, la esfera de las estrellas fijas , tal cita nos refiere a la Tierra como el centro del cosmos, alrededor de la cual giran los demás planetas y por último, las estrellas fijas; de la misma forma, el sistema ptolemaico sitúa a la Tierra en el centro del cosmos y, según Ptolomeo, la Tierra ocupa tal lugar debido a que el orden observado de los incrementos y decrementos del día y la noche sería confuso si esto no fuera así .
Dadas las condiciones anteriores, el movimiento que le corresponde al cosmos, de acuerdo al diálogo platónico, el debe ser un movimiento perfecto al igual que su forma y su constitución, éste es el movimiento circular alrededor de un mismo punto , siendo ese punto, la Tierra, la cual no tiene movimiento, aspecto aceptado también por Ptolomeo, debido a que, según él, vemos que el sol, la luna y las otras estrellas siempre se mueven desde su salida hasta su puesta en círculos paralelos hasta la cima de la tierra como si salieran de ella, hasta que cuando se ponen, parece como si cayeran dentro de ella, de tal forma que los lugares de salida y puesta corresponden a un camino ordenado y regular .
Se han visto hasta ahora, de manera rápida, las influencias que en el ámbito astronómico tiene Ptolomeo de Platón, las cuales, de manera clara son las siguientes: 1. que el cosmos es de forma esférica y tiene un movimiento circular en torno a un mismo punto, 2. que la tierra es también de forma esférica, 3. que la tierra está situada en medio del cosmos como un centro y finalmente, 4. que la tierra no participa de ningún movimiento .
Ahora bien, con respecto a las proporciones aritméticas que encontramos en sistema platónico y en el sistema ptolemaico observamos por un lado que, con respecto al primer sistema mencionado, la disposición de los astros, así como la distancia entre ellos, se encuentra en proporción con la cantidad de elementos del sistema, los cuales son: la esfera de las Estrellas Fijas, los planetas: Saturno, Júpiter, Marte, Mercurio y Venus, el Sol, la Luna y la Tierra, que se ilustra en el siguiente cuadro :
Astro Proporción numérica Lugar en el cosmos
Estrellas fijas 9
Saturno 27 8
Júpiter 9 7
Marte 8 6
Mercurio 4 5
Venus/Fósforo/Lucifer 3 4
Sol 2 3
Luna 1 2
Tierra 1
Podemos observar que el número de planetas es nueve, y que si sumamos los números de los lugares en el cosmos obtenemos el resultado de 45, si sumamos los números de las proporciones geométricas obtenemos como resultado 54, cifras que están formadas de los mismos números y que además, sumados entre sí, en cada una de las cifras da como resultado 9, al igual que, si son restadas, obtenemos 9, que es el número de elementos del cosmos platónico.
Al perecer, las sorprendentes proporciones que Platón sugiere, no atienden como tal a la forma del cosmos, empero, nos dejan ver la concepción ordenada que de éste se tiene.
Ptolomeo, al igual que Platón, ofrece proporciones numéricas en su sistema, quizá no tan bellas (en el sentido de la concordancia entre los elementos del cosmos y las proporciones entre él) como el anterior, pero no menos sorprendentes, añadiendo que la peculiaridad de ellas, es que, según Ptolomeo, atienden tanto a observaciones como a cálculos geométricos, ilustraré con un ejemplo, quizá un poco extenso, aunque necesario para mostrar lo que deseo.
Lo que intenta mostrar Ptolomeo en el ejemplo que daré son los grados y la longitud de las cuerdas sobre las ascensiones en la esfera recta, para lo cual usa la siguiente proporción:
La cuerda doble del arco BF : cuerda doble del arco AB esta compuesta por, la cuerda doble del arco FG : cuerda doble del arco GH, cuerda doble del arco EH : cuerda doble del arco AE; de la cual es preciso encontrar el arco EH sobre el ecuador :
BF : AB FG : GH = EH : AE
109p44’53’’: 48p31’55’’ 117p31’15’’: 24p15’57’’ = x : 120 (Donde x = 56p1’25’’)
54p52’26’’:24p15’57’’117p31’15’’:24p15’57’’ = (54p52’26’’)(24p15’57’’):(24p15’57’’)( 117p31’15’’)
= 54p52’26’’: 117p31’15’’
54p52’26’’: 117p31’15’’ = EH : AE
54p52’26’’: 117p31’15’’ = 56p1’25’’ : 120p
Aún es difícil e intrigante la forma de cálculo que utiliza nuestro astrónomo en la anterior proporción, sin embargo, la podemos anunciar de la siguiente manera:
120p - 54p52’26’’ = 65p7’34’’ AE – BF
120p - 56p1’25’’ = 63p58’35’’ AE – EH
117p31’15’’ - 54p52’26’’ = 62p38’49’’ FG – BF
117p31’15’’ - 56p1’25’’ = 61p29’50’’ FG – EH
62p38’49’’ - 61p29’50 = 1p8’59’’ (FG – BF)-( FG – EH)
56p1’25’ - 54p52’26’’ = 1p8’59’’ EH – BF
65p7’34’’ - 63p58’35’’= 1p8’59’ (AE – BF)-( AE – EH)
Podemos observar que, después de las múltiples restas que se llevan a cabo, primero entre los miembros de la proporción y después entre los resultados de tales restas existe la misma proporción: 1p8’59’, lo cual me hace pensar en que el cosmos de Ptolomeo, al igual que el platónico, es ordenado y su orden se nos revela por medio de los juegos matemáticos que podemos realizar mediante sus proporciones.
c. Euclídes de Alejandría
De la lectura del Almagesto se puede deducir que Ptolomeo tiene influencias de Euclídes, por el hecho de que, las demostraciones geométricas ofrecidas a lo largo de toda la obra están basadas en la obra Los Elementos del matemático mencionado.
Con Euclídes de Alejandría encuentra su cumbre la matemática griega, la cual expone la sistematización del sistema lógico aristotélico, aunque apoyado todavía en la enseñanza ideológica de Platón .
La obra euclidiana mencionada líneas arriba está dividida en trece libros, en donde las materias están tratadas de forma meramente formal, es decir, atendiendo a la forma o estructura de las demostraciones, interesándose únicamente en su validez lógica, sin entrar en cálculos o aplicaciones prácticas.
Al principio de cada libro se proporcionan las definiciones que van desde la mas simple hasta la más compleja, en donde está última incluye a las primeras, por lo que ella no será comprendida sin entender las anteriores; tales definiciones tienen la finalidad de dar a conocer el asunto de que se tratará, con lo que se delimita el campo de acción demostrativa en cada libro. Una vez hecho lo anterior se procede a la demostración de los teoremas ofrecidos en base a los postulados y naciones comunes que se otorgan desde el primer libro.
Ptolomeo retoma de Euclídes su demostrar geométrico, así como algunas de sus pruebas como apoyo a sus propias demostraciones y al igual que él, delimita desde un inicio los parámetros en los que se desenvolverá su cálculo, tal como lo anuncia en el capítulo 10 del primer libro: Sobre el tamaño de las cuerdas en un círculo, en donde nos dice que la circunferencia se divide el 360 grados y que su diámetro está dividido en 120 partes para el fácil cálculo de las cuerdas, mismo que será más sencillo, metódico y rápido tomando en cuenta, además, tan pocos teoremas como sea posible .
En base a esto, la primera alusión que se hace al geómetra tratado en esta sección, es la siguiente:
Entonces, primero dejar que sea el semicírculo ABC sobre el diámetro ADC y alrededor del centro D, y dejar que la línea recta DB sea erigida sobre AC en ángulos rectos. Dejar que DC sea bisecada en E, y que EB sea unida; y dejar que EF sea dispuesta igual a EB, y dejar que FB sea unida. Yo digo que la línea recta FD es el lado de un decágono regular inscrito, y que BF ese de un pentágono. Pues debido a que la línea recta DC es bisecada en E y que una línea recta DF, es añadida a esta:
Rectángulo CF, FD + cuadrado ED = cuadrado EF [Euclídes II, 6]
El teorema euclidiano nos dice que: “Si se divide una línea recta en dos y se le añade en recta otra recta cualquiera, el rectángulo comprendido por la recta entera más es añadida, junto con el cuadrado de la línea mitad, es igual al cuadrado de la línea compuesta de la línea mitad y de la línea añadida. (Hip.)Córtese, pues, en dos por el punto G la recta AB y añádase en la recta la recta BD. (Tes.)Digo que el rectángulo comprendido por las rectas AD y BD junto con el cuadrado del a GB es igual al Cuadrado de la GD”
Si seguimos el procedimiento dado por Euclídes para demostrar la validez de su teorema así como el desarrollo ptolemaico con respecto a lo que pretende demostrar encontramos que ambos, nos proporcionan, de entrada, el fin que persiguen y las condiciones bajo las cuales trabajan.
Así observamos cuando Ptolomeo, anuncia el recurso que hace al teorema euclidiano, demuestra, sin necesidad de anunciar el desarrollo total de su demostración que, efectivamente y en base a éste, la proposición Rectángulo CF, FD + cuadrado ED = cuadrado EF, concuerda con la tesis que dice que el rectángulo comprendido por las rectas AD y BD junto con el cuadrado del a GB es igual al Cuadrado de la GD.
En función de lo anterior, puedo decir que, el cuerpo matemático encontrado en el Almagesto, al igual que el encontrado en los Elementos, se encuentra totalmente esquematizado, sigue un orden y tiene una finalidad bien establecida.
2. La matemática en el Almagesto
De acuerdo a lo expuesto líneas arriba, podemos concluir que el aparato matemático usado en la obra aquí tratada es, debido a las proporciones que guarda, fundamentalmente armónico, y conforme a la esquematización de éste, sistemático; aunque tales características, extraídas de las influencias tanto platónicas como euclidianas, están basadas en un sistema que según nuestro astrónomo facilitará el empleo de las fracciones y, mediante las multiplicaciones y divisiones que hagamos dentro de los límites propuestos, obtendremos cálculos muy aproximados, tal sistema es el sexagesimal .
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional , que tiene como base el sesenta. Tiene su origen en la antigua Babilonia, y fue usado, aunque modificado, por los árabes durante el califato Omeya.
El número sesenta tiene la ventaja de ser el primer número que tiene como divisores al 1, 2, 3, 4, 5 y 6 de manera consecutiva, así como el 10, 12, 15, 20, 30 y 60, lo cual facilita el cálculo de fracciones.
En comparación con el sistema decimal, usado por nosotros, que tienen como base el número diez, el cual tiene su origen en nuestros diez dedos de las manos, el origen del sistema sexagesimal se remonta a una manera de enumerar usando los dedos de una sola mano. En la Antigüedad los habitantes de Mesopotamia contaban señalando con el dedo pulgar de la mano derecha cada una de las 3 falanges de los restantes dedos de la misma mano, comenzando por el meñique, de tal forma que se podía contar hasta 12 que multiplicado por los cinco dedos de las manos, lograban cifras mayores y completaba las sesenta unidades, llamado a esta cifra una "cifra redonda".
Sin embargo, pese a que no usamos el sistema sexagésimal dentro de nuestra forma de contar habitual, quedan vestigios de él en nuestra medición del tiempo, pues hay 24 horas en un día, 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto; también es comúnmente utilizada dentro de la medición de ángulos, específicamente dentro de la trigonometría y geometría, en la cual, el patrón en sexagésimal es el grado y la circunferencia se encuentra dividida en 360 grados .
Según la última afirmación, se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales. Cada división de la circunferencia se llama también grado.
Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes llamadas segundos, los símbolos para tales unidades son los siguientes:
Grado º minuto ’ segundo ´´
De tal forma que si un ángulo ABC mide 38 grados, 15 minutos y 12 segundos se escribe: 38º15’12’’.
Ahora bien, la expresión arriba citada, es clasificada dentro los llamados números complejos o denominados que no deben confundirse con los números complejos de las matemáticas superiores, pues aquellos tienen su origen en los sistemas de medidas. Los babilonios dividieron el círculo en grados y minutos. Establecieron también la división en años, meses, días, horas, minutos y segundos .
Un número complejo es el que consta de diversas unidades de medida de la misma magnitud, como 1 kilómetro, 2 metros, 3 centímetros o bien 38º15’12’’.
Es preciso mencionar lo anterior, porque en el desarrollo matemático encontrado en el Almagesto, encontramos, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de estos números.
Para su suma, se colocan unos debajo de otros de modo que las unidades de la misma especie se correspondan. Hecho esto sumamos independientemente las unidades de cada especie, y terminada esta operación, vemos si las distintas especies contienen unidades de la especie superior inmediata, y en caso afirmativo se las agregamos.
De acuerdo a la Tabla de las cuerdas, encontrada en el primer libro de nuestra obra, obtenidas mediante la suma de de ½ grado en ½ grado tenemos que:
½º = 0º31’25’’ de tal forma que 1º = 1º2’50’’, cantidad que se obtuvo de la siguiente manera:
0º31’25’’ + 0º31’25’’ = 0º62’50’’
y puesto que 60’ = 1º, entonces convertimos los 62’ en 1º y 2’, obteniendo el resultado listado por Ptolomeo: 1º2’50’.
Para la resta se coloca el sustraendo debajo del minuendo de modo que las unidades de la misma clase se correspondan. Hecho esto, se restan las distintas especies independientemente, empezando por la inferior. Si algún sustraendo parcial es mayor que el minuendo, se le agrega una unidad de la especie superior inmediata para que la resta sea posible, teniendo cuidado de restar dicha unidad al minuendo siguiente.
Siguiendo con el ejemplo ya usado, tenemos que, si queremos restar de 1º2’50’, 0º31’25’’:
1º2’50’ - 0º31’25’’ = 0º62’50’’ – 0º31’25’’ = 0º31’25’’
O bien, en las proporciones que enuncie líneas arriba tenemos:
65p7’34’’ - 63p58’35’’= 64º66’94’’ – 63º58’35’’ = 1p8’59’
En caso de las multiplicaciones y las divisiones, tomando como factores un complejo y un número entero, se debe multiplicar o dividir cada una de las especies del complejo de manera independiente y después se convierte, en caso de ser necesario, a cada especie superior, tal como sucede en el cálculo dado en la página 29 de la edición citada, en donde es preciso encontrar el arco GH, y después de dadas las condiciones para encontrar tal arco, en base a la geometría euclidiana se da la siguiente proporción: cuerda doble del arco AF : cuerda doble del arco AB por composición de cuerda doble del arco FH : cuerda doble del arco GH, cuerda doble del arco EG : cuerda doble del arco BE
AF : AB = (FH : GH)(EG : BE)
Pero como se requiere encontrar el arco GH, entonces:
(AF : AB)(EG : BE) = FH : GH
Correspondiéndole a cada línea los siguientes valores:
AF = 120P, AB = 48P31’55’’, EG = 60P, BE= 120P y FH = 120P
(120P: 48P31’55’’) (60P : 120P) = 120P : 24p15’57’’
O bien
(120P: 48P31’55’’) (1p: 2p) = 120P: 24p15’57’’
Que multiplicando extremos por extremos y medios por medios resulta:
240 : 48P31’55’’ = 120P : 24p15’57’’
Y dividiendo a la mitad, procurando que resulten números pares:
240 : 48P30’105’’ = 120P : 24p15’57’’
120P : 24p15’57 ½ ’’ = 120P : 24p15’57’’
Quedando como cociente ½’’, el cual no es tomado en cuenta
Podemos observar que las reducciones y operaciones aritméticas son realizadas sobre una base estrictamente sexagesimal, que en este cálculo es evidente, empero, no es así en los demás de los cuales, únicamente he podido encontrar su proporción, tomando en cuenta ya el resultado que el mismo Ptolomeo da a ella, esto es debido a que, he podido multiplicar y dividir números complejos con números enteros, pero no, número complejos con complejos. (Ya encontraremos el modo)
Evidentemente Ptolomeo emplea el sistema sexagesimal dentro de su labor matemática, no sólo con respecto a los grados de los círculos, en dónde, como ya se menciono, 1º equivale a 60’, sino también en cuanto a la medida de las partes de las cuerdas, en donde el diámetro del círculo es igual a 120 partes (120p), y 1p es igual a 60’ de parte, notación que empleamos en el ejemplo precedente.
Como apoyo al cálculo anterior, en la edición de Toomer, encontramos que el calculo de las cuerdas se lleva a cabo mediante el llamado Teorema de Menéalo, que dice que si una recta corta a los lados de un triángulo ABC en tres puntos M, N y P, sucede que:
(AM:BM)(BN:CN)(CP:AP) = 1
Para demostrarlo, se trazan perpendiculares desde los vértices del triángulo hasta la recta, que la encuentran en los puntos E, F y G. El triángulo AME es semejante a BMF, NCG lo es a NBF y APE a PCG. Estas tres semejanzas, de acuerdo a las semejanzas trigonométricas, dan lugar a las igualdades :
(AM:BM) = -(AE: BF)(BN:CN) = (BF:CG)(CP:AP) = -(CG:AE)
El producto de las tres lleva a la tesis del teorema, que efectivamente da como resultado la unidad, empero tal teorema, lejos de aclarar el cálculo, lo oscurece, porque al igual que la teoría de las proporciones euclidiana, se queda en el ámbito meramente formal que, si bien demuestra la validez de sus proposiciones, no podemos adecuarlas al sistema geométrico-aritmético de Ptolomeo.
Aunado a lo anterior, también es usado el teorema de Pitágoras, de acuerdo a su forma original a2+b2=c2, esto en el cálculo de la página 94 de la edición utilizada: cuadrado de FQ +cuadrado de EQ = cuadrado de EF
cuadrado de 2p16’+cuadrado de 1p2’ ≈ 2p29’30’’
Ejemplo con el que, a pesar de que formalmente observamos el teorema mencionado, tenemos el mismo problema que con los anteriores en el sentido de que desconozco la forma en la que se realizan las operaciones aritméticas, sin que por ello dejemos a un lado la proporción que efectivamente existe en los resultados.
CONCLUSIÓN
Hasta aquí se ha hecho una revisión, quizás muy apresurada tanto de las influencias que ha recibido Ptolomeo, desde mi punto de vista, como de la manera en la que ha procedido a lo largo de su obra, con lo que hemos podido vislumbrar el orden y sistematización que se encuentra en ella, así como las proporciones tanto numéricas como geométricas que encontramos, todo ello sustentado en un cálculo sexagesimal aplicado tanto a la medición de cuerdas y por ende partes, así como a la de los arcos o grados.
He mencionado también el teorema de Menéalo, que al igual que la teoría de las proporciones euclidianas atiende a la formalización de su proceder geométrico, con lo que se corrobora la validez de sus razonamientos, pero debido a que el método de Ptolomeo es geométrico-aritmético, con lo que incluye cifras dentro de su proceder, no logramos desentrañar algunos de cálculos que proporciona nuestro autor.
BIBLIOGRAFÍA
3. ABETTI, Giorgio. Historia de la Astronomía. Fondo de Cultura Económica. México 1956, p.70.
4. BALDOR, Aurelio. Aritmética. Teórico-Práctica. Ed. Publicaciones Cultural. México 1994.
5. BALDOR, Aurelio. Geometría plana y del espacio, y trigonometría. Ed. Publicaciones Cultural. México 1996.
6. BATTANER, Eduardo. Introducción a la astrofísica. Alianza Editorial. España 1999.
7. EHRENFRIED Hofmann, Joseph. Historia de la matemática. Desde el comienzo hasta Fermat y Descartes. Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana. México 1960.
8. EUCLIDES. Elementos de la geometría. Tomos I-II. Ed. UNAM. México 1992.
9. HOLTON, Gerald. Introducción a los conceptos y teorías de las ciencias físicas. Ed. Reverté. Barcelona 1976.
10. PLATO. Timaeus. Series Editor. United States of America 2001.
11. PTOLOMEO. Almagesto. William Benton, Publisher. Inglaterra.
12. TRABULSE, Elías. Ciencia y Religión en el siglo XVII. Ed. El Colegio de México. México 1974.
|
|
|
Cultural Vox, no se hace responsable de lo que los participantes de esta sección emitan. Todo lo publicado es resposabilidad de las personas que firman el contenido, así como sus puntos de vista, aseveraciones y datos correspondientes.
|
|
|
